1. 서 론
2. 수치해석 방법
2.1. 수치해석 경계조건
2.2. Short time fourier transform
2.3. Dynamic mode decomposition
3. 결과 및 고찰
4. 결 론
1. 서 론
초기 로켓 엔진의 개발은 고체 연료를 사용하여 추력을 발생시키는 방식으로 단순한 구조로 제작이 쉽고, 가격도 저렴한 장점이 있다. 하지만 고체 연료의 경우 점화가 일어나면 연소를 멈출 수 없기 때문에 연소 속도를 조절할 수 없어 추력을 제어하기 어려운 단점이 있다[1]. 이에 반해, 액체 로켓의 경우 연료의 유량을 조절하여 추력을 제어할 수 있는 장점이 있지만 높은 유량과 온도 압력 등으로 인해 고주파 연소 불안정이 빈번히 발생한다.
고주파 연소불안정은 로켓 엔진에서 자주 발생하는 현상이며, 이러한 현상은 엔진의 연소실 벽면에 가해지는 열유속을 증가시켜 엔진의 파괴로 귀결되는 심각한 결과를 초래하기도 한다[2], [3], [4].
연소불안정을 예측하고 억제하기 위해 많은 이론 및 실험적 연구가 1940년대 말부터 현재까지 진행되고 있다[2], [5], [6]. 현재까지도 연소불안정 메커니즘 규명에 어려움이 있어 여전히 실험적 결과에 의존하고 있으며, 이로인해 많은 시간과 비용이 소요된다. 따라서 연소불안정성 예측이 가능한 수치적/분석적 도구가 필요하다.
연소불안정을 예측하기 위해 다양한 방법의 연소불안정성 평가가 시도되었다. Kim 등[7]은 3차원 finite element method(FEM) helmholtz solver을 적용하여 희박 예혼합 연소기의 자발 연소불안정 예측에 대한 연구를 수행하였다. 또한 연소불안정 해석의 어려움을 해소하고 정확도를 확보하기 위해 유체역학, 음향학 그리고 제어 이론 등의 도입으로 다양한 관점의 연소불안정 평가 기법에 관한 연구가 수행되고 있다[8]. Kim 등[9]은 자동제어의 이론 중 하나인 폐회로 시스템(Closed loop system)을 연소기에 적용하여 연소불안정성을 평가하는 연구를 수행하였다.
연소불안정성 또는 주파수 응답 특성 분석을 위해 많이 사용되는 방법으로 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform, FFT)이 있다. 이 방법은 한 지점에서 압력 데이터를 추출하여 주파수에 대응하는 진폭을 보여주며, 특정주파수의 공진현상의 정도를 보여준다. 하지만 FFT는 시간변화에 따른 진폭의 추이를 확인할 수 없다. 이러한 단점을 보완하기 위한 방법으로 단시간 푸리에 변환(Short Time Fourier Transform, STFT)이 있으며, 시간에 따른 주파수의 진폭변화를 파악할 수 있다. 그러나 위 두 방법을 이용하더라도, 로켓 엔진의 연소기내 복잡한 형상과 빠른 유동 변화로 인해 특정 몇 개의 지점에서 수행하는 압력데이터 분석만으로는 연소불안정을 분석하기에 한계가 있다. 이러한 한계를 극복하기 위해 비교적 최근에 개발된 기법으로 dynamic mode decomposition(DMD)이 제시되었다[10], [11], [12], [13].
DMD 기법은 시간 변화에 따라 수집된 데이터 집합의 순간 필드로부터 선형 변동을 추출하는 방법으로 동적 유동의 에너지가 시간의 흐름에 따라 증폭/감쇠하는지 확인할 수 있다.
Jourdain 등[13]은 DMD 기법을 이용하여 배플 인젝터가 장착된 3D 연소기에 대해 음향 모드를 분석하고, 배플 간격에 대한 최적화 연구를 수행하였다. 최근 위 분석방법을 적용한 연구로 Son 등[14]은 FFT와 화염전달함수(Flame Transfer Function, FTF), DMD 기법을 이용하여 가스터빈의 연소불안정성을 평가하였으며, 기존의 연소 실험에서 수행하지 못한 엄밀한 음향 모드의 분석 및 연소불안정성을 확인하였다.
본 연구에서는 GH2/GO2 로켓 연소기의 전체 압력신호(0-49.07 ms)에 대해 STFT 방법을 적용하여 시간에 대한 공진주파수의 진폭변화를 파악하였으며, DMD 기법을 적용하여 연소실 내부의 불안정 모드 분석을 수행하였다.
2. 수치해석 방법
2.1. 수치해석 경계조건
단일 전단 동축 분사기를 갖는 GH2/GO2 로켓 연소기의 해석에 사용된 격자와 압력 데이터 추출포인트를 Fig. 1에 나타내었다. 본 연구에서 연소불안정 분석에 사용된 총 격자수는 362,736으로 격자수준은 fine 격자이며, Table 1에 나타내었다. 또한 수치해석 기법과 격자 의존성에 대한 여부는 선행 연구에 자세히 기술되어 있어 생략한다[15], [16].
Table 1. Fine grid information on GH2/GO2 rocket combustor [15], [16]
| Number of grid | |
| Recess | 26×182 |
| GH2 port | 482×24 |
| GO2 port | 482×92 |
| Main combustor | 962×302 (290,524) |
| Total number of grid | 362,736 |
연료와 산화제의 조건을 Table 2에 나타내었으며, 수소/산소의 상세화학반응 모델인 UCSD 메커니즘을 사용하였다[17]. UCSD 메커니즘은 H, H2, O, O2, OH, H2O, HO2, H2O2의 8개 화학종과 21개의 화학반응식으로 구성되어 있다.
Table 2. Boundary conditions for GH2/GO2 rocket combustor [15], [16]
| Fuel | Oxidizer | |||
| Volume | H2 | 85.7 | O2 | 90.6 |
| H2O | 14.3 | H2O | 9.4 | |
| Pressure | 5.2 MPa | |||
| Velocity | 25.9 m/s | 68.0 m/s | ||
| Temperature | 800 K | 711 K | ||
| Chamber Temperature | 1000 K | |||
2.2. Short time fourier transform
STFT는 기존의 FFT와 다르게 시간에 따른 주파수와 진폭의 변화를 확인할 수 있는 장점을 가지고 있으며, 아래의 식으로 정의된다[18].
| $$STFT\{{x\lbrack m\rbrack\;\}}(kL,\;\omega)=\sum_{m=-\infty}^\infty x\lbrack m\rbrack W(m-kL)e^{-j\omega m},$$ | (1) |
여기서 x[m]은 discrete-time signal, W(m-kL)은 window function, k는 window segment의 index, L은 step size를 의미한다.
2.3. Dynamic mode decomposition
DMD 기법은 동일한 시간간격으로 수집된 데이터로부터 전체 유동장의 순간필드(Instantaneous fields)의 선형 변동(Linear fluctuation)을 추출하는 방법이다[10], [11], [12], [13]. DMD의 i번째 순간 필드는 snapshot vi로 표기되며, 아래와 같이 행렬 Vm 그리고 Vm+1에 저장된다.
| $$V_m=\lbrack v_1,...,v_m\rbrack,\;V_{m+1}=\lbrack v_2,\;...\;,v_{m+1}\rbrack$$ | (2) |
이 두 행렬은 행렬 A에 의해 선형 변동이 추출되도록 다음과 같이 정의된다.
| $$V_{m+1}=AV_m$$ | (3) |
위 식에서 특이값 분해 및 고유값 분해, 몇 단계의 수학적인 단계를 거치면 최종적으로 아래와 같은 식이 유도된다.
| $$AE_i^{DMD}=\lambda_iE_i^{DMD},$$ | (4) |
여기서 λi와 Ei는 각각 A행렬에서 i번째의 고유값과 고유벡터이다. 계산된 고유값과 고유벡터는 공진주파수와 감쇠계수(Damping coefficient, ξi), 모드를 구할 수 있으며, 다음과 같이 정의된다[10], [11], [12], [13].
| $$Arg( \lambda _{i} )=2 \pi f _{i} N _{step} \triangle t+2 \pi T$$ | (5) |
| $$xi _{i} = \frac{ln | \lambda _{i} |} {N _{step} \triangle t}$$ | (6) |
Nstep은 number of time step, △t 는 time step, T는 음향진동주기를 의미한다. 이를 통해 구한 결과는 연소실 내부의 공진주파수와 음향 모드(Longitudinal, Tangential, Radial), 감쇠계수를 구할 수 있으며, 음의 값(-)을 갖는 감쇠계수는 공진모드의 진폭이 감쇠함을 의미하여 안정(Stable)상태, 반면에 양의 값(+)을 갖는 감쇠계수는 증폭을 의미하여 연소불안정성이 상대적으로 크다고 판단할 수 있다.
3. 결과 및 고찰
STFT를 수행하기 전 Fig. 2에 GH2/GO2 로켓연소기의 압력 데이터와 FFT 결과를 나타내었다. 그림에서 볼 수 있듯이 2.3, 4.5, 6.9, 11.1, 38.5, 그리고 39.8 kHz 등의 공진주파수를 확인할 수 있다.
STFT는 시간에 따른 주파수의 진폭변화를 확인할 수 있는 도구로 결과를 Fig. 3에 나타내었다. Fig. 3에서 주파수 2.3 kHz는 약 0-20 ms까지 진폭이 높은 것을 확인할 수 있다. 또한 진폭이 낮은 영역이 존재하지만 상대적으로 다른 주파수보다 진폭이 높다.
주파수 38-40 kHz는 약 15-27 ms 영역에서 큰 진폭을 확인할 수 있으며, 2.3 kHz와 마찬가지로 진폭이 낮은 영역이 존재하지만 긴 시간동안 높은 진폭이 유지된다. STFT의 결과로 연소실 내부의 주요 주파수는 2.3, 4.5, 38.5, 39.8 kHz 등으로 판단된다.
DMD 기법을 적용하여 공진주파수 및 연소불안정성을 평가하였다. 연소불안정성을 평가하기 위해 종방향 모드(Longitudinal mode, L mode)와 감쇠계수를 도출하여 각각의 주파수에 대해 Figs. 4와 5에 나타내었다. 또한 FFT 결과와 공진주파수를 비교하였을 때 약 2%이내의 차이가 나타났다.
Fig. 4는 종방향 모드와 안정한 상태의 결과를 나타낸 것이다. 그림처럼 3L(f=4.5 kHz, ξi=-7.6), 5L (f=8.9 kHz, ξi=-11.8), 6L(f=11.2 kHz, ξi=-21.5), 8L(f=15.8 kHz, ξi=-14.6) mode를 보이지만 감쇠계수의 값이 음의 값을 가지므로 안정(stable)한 상태라 할 수 있다.
Fig. 5에는 연소불안정 모드를 나타내었다. 불안정 모드로는 2L(f=2.3 kHz, ξi=2.4), 4L(f=6.8 kHz, ξi=15.7), 7L(f=14.0 kHz, ξi=6.8), 9L(f=19.7 kHz, ξi=36.1) mode가 나타났으며, 주파수 39.1 kHz에서 불분명하지만 9L mode와 횡방향 모드가 결합된 복합모드(Combined mode)로 추측되는 현상을 확인하였다. 이는 횡방향으로 분석이 필요하며, 추후 3D모델에서 수행하고자 한다.
STFT와 DMD의 적용 결과를 종합적으로 고려한 판단 기준을 적용하여, 상대적으로 진폭이 크면서 감쇠계수가 양의 값(+)을 갖는 2.3 kHz(2L mode, ξi=2.4)와 39.1 (unclear combined mode, ξi=2.4) kHz를 주요한 공진주파수로 판단하였다. 감쇠계수가 크면서 진폭이 작은 주파수보다 위 두 주파수에서 연소불안정이 야기될 가능성이 높음을 암시한다.
4. 결 론
STFT와 DMD 기법을 적용하여 GH2/GO2 로켓 연소기의 연소불안정성을 분석하였다. STFT로는 시간에 따른 주파수의 진폭변화를 확인하였고, DMD 기법을 사용하여 연소불안정 주파수와 모드를 파악하였다. 이 때, 두 방법으로 각각 구한 공진주파수의 차이는 2% 이내로 매우 작게 나타났다.
STFT 수행 결과, 주요 주파수는 2.3, 38-40 kHz로 나타났으며, 이 때, 2.3 kHz는 약 0-18 ms, 38-40 kHz는 약 17-26 ms에서 큰 진폭을 보임을 알 수 있었다. DMD 분석 결과, 2.3(2L mode, ξi=2.4), 6.8(4L mode, ξi=15.7), 14.0(7L mode, ξi=6.8), 19.7(9L mode, ξi=36.1), 39.1 (9L unclear R mode, ξi=2.4) kHz의 공진주파수와 불안정 모드를 파악하였다. 최종적으로 두 기법의 결과를 종합하여 판단하였을 때, 진폭이 크면서 감쇠계수가 양의 값(+)을 갖는 2.3, 39.1 kHz에서 연소불안정성이 야기될 수 있다고 판단된다.
추후 GH2/GO2 로켓연소기의 3D모델에 대해 DMD 기법을 사용하여 횡방향 불안정모드를 분석할 계획이며, STFT로는 연소불안정 발생시점을 파악할 예정이다. 여기에서 STFT는 상대적으로 정확한 연소불안정 발생시점을 파악하는데 도움을 줄 것으로 판단된다.
